Что является фундаментом математики

Что является фундаментом для математики?

Упрощенно говоря, в фундаменте математики сейчас лежат теория множеств и логика, но так было не всегда и не всегда будет.

Поначалу, когда математики только начинали возводить здание своей науки, эта бедная хижина не нуждалась в фундаменте. Понятий и правил было совсем мало, все связи между ними вполне умещались в одной голове, не было нужды их систематизировать или упорядочивать.

Древних греков математика интересовала не только как практический инструмент, для них знание было ценно само по себе. Они построили математику как науку, в которой все новые теоремы выводятся из старых, а те – из еще более старых, и так далее. Где-то у этой цепочки рассуждений должно быть начало.

Первым положил начало Евклид, живший за 3 века до нашей эры. Он подвел под хижину фундамент: создал аксиоматику. Евклид зафиксировал самые базовые понятия вроде точки или прямой, а также аксиомы — базовые законы, которые этими понятиями управляют. Аксиомы считались очевидными, их не надо было доказывать; зато из них можно было одну за другой выводить интересные теоремы. На Евклидовом фундаменте строили геометрию многие поколения математиков после него; постепенно бедная хижина превратилась в прочное здание. «Начала» Евклида — самая издаваемая светская (нерелигиозная) книга всех времен и народов.

В XIX веке были построены неевклидовы геометрии, создан математический анализ, чтобы описывать законы природы. Анализ не выводился из аксиом Евклида; новой математике потребовался новый, более прочный фундамент. На рубеже XIX и XX веков Давид Гильберт задумался о том, каким он должен быть. Гильберт сформулировал основные требования к аксиоматике и поставил цель подвести аксиоматические основания под всю имеющуюся математику.

Если мы представим себе математику как стройку, то увидим, что на всех этажах идет работа, снуют строители… но в начале XX века их было особенно много в самом низу, в основании всего здания. Оно зарывалось вглубь, шла тотальная перестройка фундамента – создавалась система аксиом и основных понятий. Для этого в математике есть две специальные ветви, две плиты фундамента – логика и теория множеств.

А в начале 30-х годов XX века Курт Гёдель доказал, что безупречной аксиоматики не бывает. Теорема Гёделя о неполноте говорит, что если аксиоматика непротиворечива, то хотя можно выводить одну за другой все более сложные теоремы, но невозможно вывести ВСЕ истинные, неопровержимые утверждения. Обязательно найдутся такие, которые нельзя опровергнуть, но при этом нельзя и доказать. Это открытие ошеломило математиков: фундамент оказался с изъянами, но они все-таки научились с этим жить.

Здание нашей науки динамично. В нем появляются самые неожиданные пристройки, вроде теории узлов и кос или теории избирательных систем. Между разными крыльями здания математики строят переходы, связывая его воедино. На верхних этажах устроились прикладники, и им нет дела до подземных этажей, где тоже кипит работа, ведь здание растет не только ввысь и вширь, но и в глубину тоже.

Математике наверняка предстоят новые кризисы, и тогда придется засучить рукава, разработать новые инструменты и опять перестроить фундамент.

Источник

Что является фундаментом для математики?

Упрощенно говоря, в фундаменте математики сейчас лежат теория множеств и логика, но так было не всегда и не всегда будет.

Поначалу, когда математики только начинали возводить здание своей науки, эта бедная хижина не нуждалась в фундаменте. Понятий и правил было совсем мало, все связи между ними вполне умещались в одной голове, не было нужды их систематизировать или упорядочивать.

Древних греков математика интересовала не только как практический инструмент, для них знание было ценно само по себе. Они построили математику как науку, в которой все новые теоремы выводятся из старых, а те – из еще более старых, и так далее. Где-то у этой цепочки рассуждений должно быть начало.

Первым положил начало Евклид, живший за 3 века до нашей эры. Он подвел под хижину фундамент: создал аксиоматику. Евклид зафиксировал самые базовые понятия вроде точки или прямой, а также аксиомы – базовые законы, которые этими понятиями управляют. Аксиомы считались очевидными, их не надо было доказывать; зато из них можно было одну за другой выводить интересные теоремы. На Евклидовом фундаменте строили геометрию многие поколения математиков после него; постепенно бедная хижина превратилась в прочное здание. «Начала» Евклида – самая издаваемая светская (нерелигиозная) книга всех времен и народов.

В XIX веке были построены неевклидовы геометрии, создан математический анализ, чтобы описывать законы природы. Анализ не выводился из аксиом Евклида; новой математике потребовался новый, более прочный фундамент. На рубеже XIX и XX веков Давид Гильберт задумался о том, каким он должен быть. Гильберт сформулировал основные требования к аксиоматике и поставил цель подвести аксиоматические основания под всю имеющуюся математику.

Если мы представим себе математику как стройку, то увидим, что на всех этажах идет работа, снуют строители… но в начале XX века их было особенно много в самом низу, в основании всего здания. Оно зарывалось вглубь, шла тотальная перестройка фундамента – создавалась система аксиом и основных понятий. Для этого в математике есть две специальные ветви, две плиты фундамента – логика и теория множеств.

А в начале 30-х годов XX века Курт Гёдель доказал, что безупречной аксиоматики не бывает. Теорема Гёделя о неполноте говорит, что если аксиоматика непротиворечива, то хотя можно выводить одну за другой все более сложные теоремы, но невозможно вывести ВСЕ истинные, неопровержимые утверждения. Обязательно найдутся такие, которые нельзя опровергнуть, но при этом нельзя и доказать. Это открытие ошеломило математиков: фундамент оказался с изъянами, но они все-таки научились с этим жить.

Здание нашей науки динамично. В нем появляются самые неожиданные пристройки, вроде теории узлов и кос или теории избирательных систем. Между разными крыльями здания математики строят переходы, связывая его воедино. На верхних этажах устроились прикладники, и им нет дела до подземных этажей, где тоже кипит работа, ведь здание растет не только ввысь и вширь, но и в глубину тоже.

Математике наверняка предстоят новые кризисы, и тогда придется засучить рукава, разработать новые инструменты и опять перестроить фундамент.

Советую прочитать на эту тему статью » Архитектура математики «

Источник

Основы математики — Foundations of mathematics

Основы математики — это изучение философских, логических и / или алгоритмических основ математики или, в более широком смысле, математическое исследование того, что лежит в основе философских теорий, касающихся природы математики. В этом последнем смысле различие между основаниями математики и философией математики оказывается довольно расплывчатым. Основы математики можно представить как изучение основных математических понятий (множество, функция, геометрическая фигура, число и т. Д.) И того, как они образуют иерархии более сложных структур и понятий, особенно фундаментально важных структур, образующих язык математики. (формулы, теории и их модели, придающие смысл формулам, определениям, доказательствам, алгоритмам и т. д.), также называемые метаматематическими концепциями , с прицелом на философские аспекты и единство математики. Поиск основ математики — центральный вопрос философии математики; абстрактная природа математических объектов ставит особые философские проблемы.

Основы математики в целом не ставят своей целью содержать основы каждой математической темы. Как правило, основы области исследования относятся к более или менее систематическому анализу ее самых основных или фундаментальных концепций, ее концептуального единства и ее естественного упорядочения или иерархии концепций, которые могут помочь связать ее с остальной частью человеческого знание. Развитие, возникновение и прояснение основ может происходить на поздних этапах истории области и не может рассматриваться всеми как наиболее интересная ее часть.

Математика всегда играла особую роль в научной мысли, с древних времен служа образцом истины и строгости для рационального исследования и давая инструменты или даже основу для других наук (особенно физики). Многие достижения математики в направлении высших абстракций в 19 веке принесли новые вызовы и парадоксы, побуждая к более глубокому и систематическому исследованию природы и критериев математической истины , а также к объединению различных разделов математики в единое целое.

Систематические поиски основ математики начались в конце 19 века и сформировали новую математическую дисциплину, названную математической логикой , которая позже имела прочные связи с теоретической информатикой . Она прошла через ряд кризисов с парадоксальными результатами, до открытия не стабилизируется в течение 20 — го века , как большое и когерентное тело математических знаний с несколькими аспектами или компонентами ( теорий множеств , теорией модели , теория доказательств и т.д.), подробно свойства которого и возможные варианты все еще являются активной областью исследований. Его высокий уровень технической сложности вдохновил многих философов на предположение, что он может служить моделью или образцом для основ других наук.

СОДЕРЖАНИЕ

Исторический контекст

Древнегреческая математика

Хотя математическая практика ранее развивалась в других цивилизациях, особый интерес к ее теоретическим и основополагающим аспектам был явно очевиден в работах древних греков.

Ранние греческие философы спорили о том, что является более основным: арифметика или геометрия. Зенон Элейский (490 — ок. 430 до н. Э.) Произвел четыре парадокса, которые, кажется, показывают невозможность изменения. Пифагор школа математики первоначально настаивал , что только натуральные и рациональные числа существуют. Открытие иррациональности из √ 2 , отношение диагонали квадрата к его стороне (около 5 века до н.э.), был шоком для них , которые они только неохотно приняли. Несоответствие между рациональными числами и действительными числами было окончательно разрешено Евдоксом Книдским (408–355 гг. До н.э.), учеником Платона , который свел сравнение двух иррациональных соотношений к сравнению кратных величин. Его метод предвосхитил метод Дедекинда в современном определении действительных чисел Ричарда Дедекинда (1831–1916).

В аналитике , Аристотель (384-322 до н.э.) положил на аксиоматический метод для организации области знаний логически с помощью примитивных понятий, аксиом, постулатов, определений и теорем. Для этого Аристотель взял большинство своих примеров из арифметики и геометрии. Этот метод достиг своего апогея с « Элементами Евклида » (300 г. до н.э.), трактатом по математике, построенным с очень высокими стандартами строгости: Евклид оправдывает каждое предложение демонстрацией в форме цепочек силлогизмов (хотя они не всегда строго соответствуют к аристотелевским шаблонам). Силлогистическая логика Аристотеля вместе с аксиоматическим методом, воплощенным в « Элементах » Евклида , признаны научными достижениями Древней Греции.

Платонизм как традиционная философия математики

Начиная с конца XIX века платонический взгляд на математику стал распространенным среди практикующих математиков.

Эти понятия или, как Платоники бы его, объекты математики являются абстрактными и далеким от повседневного перцептивного опыта: геометрические фигуры задуманы как idealities следует отличать от эффективных рисунков и форм объектов, а также номера не путать с подсчетом бетона объекты. Их существование и природа представляют собой особые философские проблемы: чем математические объекты отличаются от их конкретного представления? Находятся ли они в их представлении, или в наших умах, или где-то еще? Как мы можем их узнать?

Древнегреческие философы очень серьезно относились к этим вопросам. Действительно, многие из их общих философских дискуссий велись с обширными ссылками на геометрию и арифметику. Платон (424/423 г. до н.э. — 348/347 г. до н.э.) настаивал, что математические объекты, как и другие платонические Идеи (формы или сущности), должны быть совершенно абстрактными и иметь отдельный, нематериальный вид существования в мире независимых людей. Он считал, что истины об этих объектах также существуют независимо от человеческого разума, но открываются людьми. В « Меноне » учитель Платона Сократ утверждает, что эту истину можно познать с помощью процесса, подобного восстановлению памяти.

Над воротами платоновской академии появилась известная надпись: «Не входи сюда никому, кто не разбирается в геометрии». Этим Платон показал свое высокое мнение о геометрии. Он считал геометрию «первым важным элементом в обучении философов» из-за ее абстрактного характера.

Эту философию платонического математического реализма разделяют многие математики. Можно утверждать, что платонизм каким-то образом является необходимым предположением, лежащим в основе любой математической работы.

С этой точки зрения законы природы и законы математики имеют схожий статус, и эффективность перестает быть необоснованной. В основе лежат не наши аксиомы, а вполне реальный мир математических объектов.

Аристотель проанализировал и отверг эту точку зрения в своей « Метафизике» . Эти вопросы дают большую пищу для философского анализа и дискуссий.

Средние века и ренессанс

Более 2000 лет «Элементы» Евклида служили совершенно прочной основой математики, поскольку ее методология рационального исследования руководила математиками, философами и учеными вплоть до XIX века.

Средние века были свидетелями споров об онтологическом статусе универсалий (платонических идей): реализм утверждал их существование независимо от восприятия; концептуализм утверждал их существование только в пределах разума; номинализм отрицал и то, и другое, рассматривая универсалии только как названия совокупностей отдельных объектов (следуя более старым предположениям о том, что они являются словами « логои »).

Рене Декарт опубликовал «Геометрию» (1637), направленную на сведение геометрии к алгебре с помощью систем координат, придавая алгебре более фундаментальную роль (в то время как греки встроили арифметику в геометрию, отождествляя целые числа с равномерно расположенными точками на линии). Книга Декарта стала известной после 1649 года и проложила путь к исчислению бесконечно малых.

Исаак Ньютон (1642–1727) в Англии и Лейбниц (1646–1716) в Германии независимо разработали исчисление бесконечно малых, основанное на очень эффективных эвристических методах, но без строгих обоснований. Лейбниц даже продолжал явно описывать бесконечно малые числа как действительные бесконечно малые числа (близкие к нулю). Лейбниц также работал над формальной логикой, но большинство его работ по ней оставались неопубликованными до 1903 года.

Протестантский философ Джордж Беркли (1685–1753) в своей кампании против религиозных последствий ньютоновской механики написал брошюру об отсутствии рациональных обоснований исчисления бесконечно малых: «Они не являются ни конечными величинами, ни количествами бесконечно малыми, ни все же ничем. . Разве мы не можем называть их призраками ушедших количеств? «

Затем математика развивалась очень быстро и успешно в физических приложениях, но с небольшим вниманием к логическим основам.

19 век

В XIX веке математика становилась все более абстрактной. Опасения по поводу логических пробелов и несоответствий в различных областях привели к развитию аксиоматических систем.

Реальный анализ

Коши (1789–1857) начал проект строгой формулировки и доказательства теорем исчисления бесконечно малых , отвергая эвристический принцип общности алгебры, использовавшийся более ранними авторами. В своей работе 1821 года Cours d’Analyse он определяет бесконечно малые величины в терминах убывающих последовательностей, которые сходятся к 0, которые он затем использовал для определения непрерывности. Но он не формализовал свое представление о конвергенции.

Современное (ε, δ) -определение предельных и непрерывных функций было впервые разработано Больцано в 1817 году, но оставалось относительно неизвестным. Он дает строгую основу исчисления бесконечно малых, основанного на наборе действительных чисел, возможно, разрешая парадоксы Зенона и аргументы Беркли.

Математики, такие как Карл Вейерштрасс (1815–1897), открыли патологические функции, такие как непрерывные, нигде не дифференцируемые функции . Предыдущие концепции функции как правила вычисления или гладкого графика больше не подходили. Вейерштрасс начал защищать арифметизацию анализа , чтобы аксиоматизировать анализ, используя свойства натуральных чисел.

В 1858 году Дедекинд предложил определение действительных чисел как сокращения рациональных чисел. Это сокращение действительных чисел и непрерывных функций в терминах рациональных чисел и, следовательно, натуральных чисел, было позже интегрировано Кантором в его теории множеств и аксиоматизировано в терминах арифметики второго порядка Гильбертом и Бернейсом.

Теория групп

Впервые были исследованы пределы математики. Нильс Хенрик Абель (1802–1829), норвежец, и Эварист Галуа (1811–1832), француз, исследовали решения различных полиномиальных уравнений и доказали, что не существует общего алгебраического решения уравнений степени выше четырех ( Abel –Теорема Руффини ). С помощью этих концепций Пьер Ванцель (1837) доказал, что линейка и циркуль сами по себе не могут ни разрезать произвольный угол пополам, ни удвоить куб . В 1882 году Линдеманн, опираясь на работу Эрмита, показал, что прямая линейка и квадратура циркуля круга (построение квадрата, равного по площади данному кругу) также невозможно, доказав, что π является трансцендентным числом . Математики тщетно пытались решить все эти проблемы еще со времен древних греков.

Работы Абеля и Галуа открыли путь развитию теории групп (которая позже будет использоваться для изучения симметрии в физике и других областях) и абстрактной алгебры . Понятия векторных пространств не возникли из концепции барицентрических координат по Möbius в 1827 году, к современному определению векторных пространств и линейных отображений Пеаны в 1888. Геометрия была не более ограничена три размеров. Эти концепции не обобщали числа, а объединяли понятия функций и множеств, которые еще не были формализованы, отрываясь от знакомых математических объектов.

Неевклидовы геометрии

После многих неудачных попыток вывести параллельный постулат из других аксиом, изучение еще гипотетической гиперболической геометрии по Иоганн Генрих Ламберт (1728-1777) привел его ввести гиперболические функции и вычислить площадь гиперболического треугольника (где сумма углы меньше 180 °). Затем русский математик Николай Лобачевский (1792–1856) установил в 1826 году (и опубликовал в 1829 году) согласованность этой геометрии (таким образом, независимость постулата параллельности ) параллельно с венгерским математиком Яношом Бойяи (1802–1860) в 1832 году. , и с Гауссом . Позже в 19 веке немецкий математик Бернхард Риман разработал эллиптическую геометрию , другую неевклидову геометрию, в которой нельзя найти параллель, а сумма углов в треугольнике превышает 180 °. Было доказано, что точка означает пару противоположных точек на фиксированной сфере, а прямая — большой круг на сфере. В то время основным методом доказательства непротиворечивости набора аксиом было создание модели для него.

Проективная геометрия

Одна из ловушек дедуктивной системы — это круговое рассуждение , проблема, которая, казалось, выпадала на долю проективной геометрии, пока ее не разрешил Карл фон Штаудт . Как поясняют российские историки:

В середине девятнадцатого века между сторонниками синтетических и аналитических методов в проективной геометрии велись ожесточенные споры, обе стороны обвиняли друг друга в смешении проективных и метрических концепций. Действительно, основная концепция, которая применяется в синтетическом представлении проективной геометрии, поперечное отношение четырех точек прямой, была введена путем рассмотрения длин интервалов.

Чисто геометрический подход фон Штаудта был основан на полном четырехугольнике для выражения отношения проективных гармонических сопряженных элементов . Затем он создал средство выражения знакомых числовых свойств с помощью своей « Алгебры бросков» . Английские версии этого процесса вывода свойств поля можно найти либо в книге Освальда Веблена и Джона Янга « Проективная геометрия» (1938), либо в недавней книге Джона Стилвелла « Четыре столпа геометрии» (2005). Стиллвелл пишет на странице 120

. проективная геометрия в определенном смысле проще алгебры, потому что мы используем только пять геометрических аксиом для вывода девяти аксиом поля.

Алгебра бросков обычно рассматривается как функция перекрестных соотношений, поскольку студенты обычно полагаются на числа, не беспокоясь об их основе. Однако в расчетах перекрестных соотношений используются метрические характеристики геометрии, которые не допускаются пуристами. Например, в 1961 году Кокстер написал « Введение в геометрию» без упоминания о взаимном соотношении.

Булева алгебра и логика

Попытки формального рассмотрения математики начались с Лейбница и Ламберта (1728–1777) и продолжились работами алгебраистов, таких как Джордж Пикок (1791–1858). Систематические математические трактовки логики пришли с британским математиком Джорджем Булем (1847), который изобрел алгебру, которая вскоре превратилась в то, что сейчас называется булевой алгеброй , в которой единственными числами были 0 и 1 и логические комбинации (соединение, дизъюнкция, импликация и отрицание). ) являются операциями, аналогичными сложению и умножению целых чисел. Кроме того, Де Морган опубликовал свои законы в 1847 году. Таким образом, логика стала отраслью математики. Булева алгебра является отправной точкой математической логики и имеет важные приложения в информатике .

Чарльз Сандерс Пирс, опираясь на работы Буля, разработал логическую систему для отношений и кванторов , которую он опубликовал в нескольких статьях с 1870 по 1885 год.

Немецкий математик Готлоб Фреге (1848–1925) представил независимое развитие логики с кванторами в своей книге «Begriffsschrift» (язык формул), опубликованной в 1879 году, работе, которую обычно считают поворотным моментом в истории логики. Он выявил недостатки логики Аристотеля и указал на три ожидаемых свойства математической теории.

1. Последовательность : невозможность доказательства противоречивых утверждений.
2. Полнота : любое утверждение доказуемо или опровергнуто (т. Е. Его отрицание доказуемо).
3. Разрешимость : существует процедура принятия решения для проверки любого утверждения теории.

Затем он показал в Grundgesetze der Arithmetik (Основные законы арифметики), как арифметика может быть формализована в его новой логике.

Работы Фреге были популяризированы Бертраном Расселом на рубеже веков. Но двумерная запись Фреге не увенчалась успехом. Популярными обозначениями были (x) для универсальных и (∃x) для экзистенциальных кванторов, исходящие от Джузеппе Пеано и Уильяма Эрнеста Джонсона, пока символ ∀ не был введен Герхардом Гентценом в 1935 году и стал каноническим в 1960-х годах.

С 1890 по 1905 год Эрнст Шредер опубликовал « Vorlesungen über die Algebra der Logik» в трех томах. В этой работе обобщены и расширены работы Буля, Де Моргана и Пирса, а также дана исчерпывающая ссылка на символическую логику в ее понимании в конце XIX века.

Арифметика Пеано

Формализация арифметики (теории натуральных чисел ) как аксиоматической теории началась с Пирса в 1881 году и продолжилась Ричардом Дедекиндом и Джузеппе Пеано в 1888 году. Это все еще была аксиоматизация второго порядка (выражающая индукцию в терминах произвольных подмножеств, таким образом неявное использование теории множеств ), поскольку проблемы выражения теорий в логике первого порядка еще не были поняты. В работе Дедекинда этот подход проявляется как полная характеристика натуральных чисел и предоставление рекурсивных определений сложения и умножения на основе функции-преемника и математической индукции .

Основополагающий кризис

Основополагающий кризис математики (в немецкой Grundlagenkrise дер Mathematik ) был термин в начале 20 века для поиска правильных основ математики.

Несколько школ философии математики столкнулись с трудностями одна за другой в 20-м веке, поскольку предположение о том, что математика имеет какое-либо основание, которое может быть последовательно заявлено в самой математике, было серьезно поставлено под сомнение открытием различных парадоксов (таких как парадокс Рассела ). .

Название «парадокс» не следует путать с противоречием . Противоречие в формальной теории является формальное доказательство нелепости внутри теории (например, 2 + 2 = 5 ), показывает , что эта теория является непоследовательным и должна быть отклонена. Но парадокс может быть либо неожиданным, но истинным результатом данной формальной теории, либо неформальным аргументом, приводящим к противоречию, так что теория-кандидат, если она должна быть формализована, должна не допускать по крайней мере одного из своих шагов; в этом случае проблема состоит в том, чтобы найти удовлетворительную теорию без противоречий. Оба значения могут применяться, если формализованная версия аргумента служит доказательством удивительной истины. Например, парадокс Рассела можно выразить как «не существует множества всех множеств» (за исключением некоторых маргинальных аксиоматических теорий множеств).

Различные школы мысли противостояли друг другу. Ведущей школой была формалистический подход, наиболее активным сторонником которого был Дэвид Гильберт , кульминацией которого стала так называемая программа Гильберта , в которой математика полагалась на небольшую основу логической системы, которая была доказана с помощью метаматематических методов финитизма . Основным противником была школа интуиционистов , возглавляемая Л. Дж. Брауэром , решительно отвергавшая формализм как бессмысленную игру с символами. Бой был ожесточенным. В 1920 году Гильберту удалось исключить Брауэра, которого он считал угрозой для математики, из редакционной коллегии Mathematische Annalen , ведущего математического журнала того времени.

Философские взгляды

В начале 20 века противостояли друг другу три философские школы математики: формализм, интуиционизм и логицизм. Вторая конференция по эпистемологии точных наук , проведенных в Кенигсберге в 1930 году дала место для этих трех школ.

Формализм

Утверждалось, что формалисты, такие как Дэвид Гильберт (1862–1943), считают математику всего лишь языком и серией игр. В самом деле, он использовал слова «игра по формулам» в своем ответе 1927 года на критику Л. Дж. Брауэра :

И насколько, таким образом, игра в формулы оказалась успешной? Эта игра с формулами позволяет нам единообразно выразить все мыслительное содержание математической науки и развить его таким образом, чтобы в то же время прояснялись взаимосвязи между отдельными предложениями и фактами . игра, которую так осуждает Брауэр, имеет, помимо математической ценности, важное общефилософское значение. По этой формуле игра проводится по определенным правилам, в которых выражается техника нашего мышления . Эти правила образуют замкнутую систему, которую можно обнаружить и окончательно сформулировать.

Таким образом, Гильберт настаивает на том, что математика не является произвольной игрой с произвольными правилами; скорее, он должен согласовываться с тем, как происходит наше мышление, а затем и наша речь и письмо.

Мы ни в каком смысле не говорим здесь о произволе. Математика не похожа на игру, задачи которой определяются произвольно установленными правилами. Скорее, это концептуальная система, обладающая внутренней необходимостью, которая может быть только такой и ни в коем случае не иначе.

Основополагающая философия формализма, представленная Дэвидом Гильбертом , является ответом на парадоксы теории множеств и основана на формальной логике . Практически все математические теоремы сегодня можно сформулировать как теоремы теории множеств. Истинность математического утверждения, с этой точки зрения, представлена ​​тем фактом, что утверждение может быть выведено из аксиом теории множеств с использованием правил формальной логики.

Само по себе использование формализма не объясняет нескольких вопросов: почему мы должны использовать те аксиомы, которые мы делаем, а не какие-то другие, почему мы должны применять те логические правила, которые мы используем, а не какие-то другие, почему мы делаем «истинные» математические утверждения (например, законы арифметики ) кажутся верными и т. д. Герман Вейль задавал Гильберту именно такие вопросы:

Какую «истину» или объективность можно приписать этой теоретической конструкции мира, выходящей далеко за пределы данного, — это глубокая философская проблема. Это тесно связано с дальнейшим вопросом: что побуждает нас взять за основу именно конкретную систему аксиом, разработанную Гильбертом? Последовательность действительно является необходимым, но не достаточным условием. Пока, наверное, мы не можем ответить на этот вопрос .

В некоторых случаях на эти вопросы можно получить достаточный ответ, изучив формальные теории в таких дисциплинах, как обратная математика и теория вычислительной сложности . Как отметил Вейль, формальные логические системы также подвержены риску непоследовательности ; в арифметике Пеано это, возможно, уже решено с помощью нескольких доказательств непротиворечивости , но ведутся споры о том, являются ли они достаточно конечными, чтобы иметь смысл. Вторая теорема Гёделя о неполноте устанавливает, что логические системы арифметики никогда не могут содержать достоверное доказательство их собственной непротиворечивости . Что Гильберт хотел сделать , доказать логическую систему S была последовательной, основанный на принципах Р , которые только составляли небольшую часть S . Но Гедель доказал , что принципы P не может даже доказать P , чтобы быть последовательным, не говоря уже о S .

Интуиционизм

Интуиционисты, такие как Л. Дж. Брауэр (1882–1966), считают, что математика является порождением человеческого разума. Числа, как и сказочные персонажи, — всего лишь ментальные сущности, которых не существовало бы, если бы не существовало человеческих умов, которые бы о них думали.

Фундаментальная философия интуиционизма или конструктивизма , крайним примером которой является Брауэр и Стивен Клини , требует, чтобы доказательства были «конструктивными» по своей природе — существование объекта должно быть продемонстрировано, а не выведено из демонстрации невозможности его отсутствия. существование. Например, вследствие этого форма доказательства, известная как reductio ad absurdum, является подозрительной.

Некоторые современные теории философии математики отрицают существование оснований в первоначальном смысле. Некоторые теории, как правило, сосредоточены на математической практике и стремятся описать и проанализировать фактическую работу математиков как социальной группы . Другие пытаются создать когнитивную науку математику , сосредоточив внимание на человеческом познании как источнике надежности математики в применении к реальному миру. Эти теории предполагают найти основы только в человеческом мышлении, а не в какой-либо объективной внешней конструкции. Вопрос остается спорным.

Логика

Логицизм — это школа мысли и исследовательская программа в философии математики, основанная на тезисе о том, что математика является расширением логики или что часть или вся математика может быть получена в подходящей формальной системе, аксиомы и правила вывода которой являются «логичный» по своей природе. Бертран Рассел и Альфред Норт Уайтхед отстаивали эту теорию, инициированную Готлобом Фреге и находящуюся под влиянием Ричарда Дедекинда .

Теоретико-множественный платонизм

Многие исследователи аксиоматической теории множеств подписались под так называемым теоретико-множественным платонизмом , примером которого является Курт Гёдель .

Несколько теоретиков множеств следовали этому подходу и активно искали аксиомы, которые можно было бы считать верными по эвристическим причинам и которые могли бы решить гипотезу континуума . Были изучены многие большие кардинальные аксиомы, но гипотеза всегда оставалась независимой от них, и теперь считается маловероятным, что CH может быть разрешена с помощью новой большой кардинальной аксиомы. Были рассмотрены другие типы аксиом, но ни одна из них еще не достигла консенсуса по гипотезе континуума. Недавняя работа Хэмкинса предлагает более гибкую альтернативу: теоретико-множественная мультивселенная, позволяющая свободный переход между теоретико-множественными вселенными, удовлетворяющими гипотезе континуума, и другими вселенными, которые этого не делают.

Аргумент незаменимости реализма

Этот аргумент по Уиллард Куайн и Хилари Putnam говорит (в более короткие слова Путнэма),

. количественная оценка математических сущностей необходима для науки . поэтому мы должны принять такую ​​количественную оценку; но это заставляет нас признать существование рассматриваемых математических сущностей.

Однако Патнэм не был платоником.

Грубый реализм

Немногие математики обычно ежедневно озабочены логицизмом, формализмом или любой другой философской позицией. Напротив, их основная забота состоит в том, чтобы математическое предприятие в целом всегда оставалось продуктивным. Как правило, они считают, что для этого необходимо оставаться непредубежденными, практичными и занятыми; как потенциальная угроза излишней идеологии, фанатично редукционизма или лени.

Такое мнение высказывали и некоторые известные физики.

Например, лауреат Нобелевской премии по физике Ричард Фейнман сказал:

Люди говорят мне: «Ты ищешь основные законы физики?» Нет, я не . Если окажется, что существует простой окончательный закон, который все объясняет, пусть будет так — это было бы очень приятно открыть. Если окажется, что это луковица с миллионами слоев . значит, так оно и есть. Но в любом случае есть Природа, и она выйдет такой, какая Она есть. Поэтому, когда мы идем исследовать, мы не должны заранее определять, что именно мы ищем, только для того, чтобы узнать больше об этом.

Понимание философов иногда приносило пользу физикам, но в целом отрицательно — защищая их от предубеждений других философов. . без некоторого руководства, основанного на наших предубеждениях, вообще ничего нельзя было бы сделать. Просто философские принципы обычно не дают нам правильных предубеждений.

Вайнберг считал, что любую неразрешимость в математике, такую ​​как гипотеза континуума, потенциально можно разрешить, несмотря на теорему о неполноте, путем нахождения подходящих дополнительных аксиом для добавления к теории множеств.

Философские следствия теоремы Гёделя о полноте

Теорема Гёделя о полноте устанавливает эквивалентность в логике первого порядка между формальной доказуемостью формулы и ее истинностью во всех возможных моделях. А именно, для любой непротиворечивой теории первого порядка он дает «явное построение» модели, описываемой теорией; эта модель будет счетной, если язык теории счетный. Однако эта «явная конструкция» не является алгоритмической. Он основан на итеративном процессе завершения теории, где каждый шаг итерации состоит в добавлении формулы к аксиомам, если это поддерживает согласованность теории; но этот вопрос о непротиворечивости является лишь полуразрешимым (имеется алгоритм, позволяющий найти любое противоречие, но если его нет, этот факт о непротиворечивости может остаться недоказуемым).

Это можно рассматривать как своего рода оправдание платонической точки зрения, согласно которой объекты наших математических теорий реальны. Точнее, это показывает, что простого предположения о существовании множества натуральных чисел как целостности (актуальной бесконечности) достаточно, чтобы подразумевать существование модели (мира объектов) любой непротиворечивой теории. Однако остается несколько трудностей:

• Для любой непротиворечивой теории это обычно дает не только один мир объектов, но бесконечное количество возможных миров, которые теория могла бы одинаково описать, с возможным разнообразием истин между ними.
• В случае теории множеств ни одна из моделей, полученных с помощью этой конструкции, не похожа на предполагаемую модель, поскольку они счетны, в то время как теория множеств намеревается описывать бесчисленные бесконечности. Подобные замечания можно сделать и во многих других случаях. Например, с теориями, включающими арифметику, такие конструкции обычно дают модели, которые включают нестандартные числа, если только метод построения не был специально разработан, чтобы их избежать.
• Поскольку он дает модели для всех непротиворечивых теорий без различия, он не дает оснований принимать или отвергать какую-либо аксиому, пока теория остается непротиворечивой, но рассматривает все непротиворечивые аксиоматические теории как относящиеся к одинаково существующим мирам. Он не указывает на то, какую аксиоматическую систему следует предпочесть в качестве основы математики.
• Поскольку утверждения о непротиворечивости обычно недоказуемы, они остаются вопросом убеждений или нестрогих оправданий. Следовательно, существование моделей, заданных теоремой о полноте, на самом деле требует двух философских предположений: действительной бесконечности натуральных чисел и непротиворечивости теории.

Другое следствие теоремы о полноте состоит в том, что она оправдывает концепцию бесконечно малых как актуальных бесконечно малых ненулевых величин, основанную на существовании нестандартных моделей, столь же законных, как и стандартные. Эта идея была формализована Абрахамом Робинсоном в теории нестандартного анализа .

Еще парадоксы

Ниже перечислены некоторые заметные результаты в метаматематике. Теория множеств Цермело – Френкеля — наиболее широко изучаемая аксиоматизация теории множеств. Он сокращенно ZFC, когда он включает аксиому выбора, и ZF, когда аксиома выбора исключена.

• 1920: Торальф Сколем исправил доказательство Леопольда Левенгейма того, что сейчас называется нисходящей теоремой Левенхайма – Сколема , что привело к парадоксу Сколема, обсуждавшемуся в 1922 году, а именно к существованию счетных моделей ZF, что делает бесконечные мощности относительным свойством.
• 1922: Доказательство Абрахама Френкеля, что аксиома выбора не может быть доказана на основе аксиом теории множеств Цермело с элементами .
• 1931: Публикация теорем Гёделя о неполноте , показывающих, что существенные аспекты программы Гильберта не могут быть достигнуты. Он показал, как построить для любой достаточно мощной и непротиворечивой рекурсивно аксиоматизируемой системы — такой, которая необходима для аксиоматизации элементарной теории арифметики на (бесконечном) множестве натуральных чисел — утверждение, которое формально выражает собственную недоказуемость, которую он затем доказал эквивалентной на утверждение непротиворечивости теории; так что (предполагая, что согласованность истинна), система недостаточно мощна для доказательства своей собственной согласованности, не говоря уже о том, что более простая система могла бы выполнять эту работу. Таким образом, стало ясно, что понятие математической истины не может быть полностью определено и сведено к чисто формальной системе, как это предусмотрено программой Гильберта. Это нанесло последний удар по сердцу программы Гильберта, надежде, что согласованность может быть достигнута с помощью финитистических средств (никогда не было ясно, какие аксиомы являются «конечными», но какая бы аксиоматическая система ни упоминалась, это была «более слабая» система, чем система, непротиворечивость которой предполагалось доказать).
• 1936: Альфред Тарский доказал свою теорему о неопределенности истинности .
• 1936: Алан Тьюринг доказал, что не может существовать общий алгоритм для решения проблемы остановки для всех возможных пар программа-ввод.
• 1938: Гёдель доказал непротиворечивость аксиомы выбора и гипотезы обобщенного континуума .
• 1936–1937: Алонзо Чёрч и Алан Тьюринг , соответственно, опубликовали независимые статьи, показывающие, что общее решение проблемы Entscheidungs невозможно: универсальная законность утверждений в логике первого порядка не разрешима (она является только полуразрешимой, как указано в теорема о полноте ).
• 1955: Петр Новиков показал, что существует конечно определенная группа G такая, что проблема слов для G неразрешима.
• 1963: Пол Коэн показал, что гипотеза континуума недоказуема с помощью ZFC . Доказательство Коэна развило метод принуждения , который сейчас является важным инструментом для установления результатов независимости в теории множеств.
• 1964: Вдохновленный фундаментальной случайностью в физике, Грегори Чайтин начинает публиковать результаты по алгоритмической теории информации (измерение неполноты и случайности в математике).
• 1966: Пол Коэн показал, что аксиома выбора недоказуема в ZF даже без дополнительных элементов .
• 1970: Десятая проблема Гильберта оказывается неразрешимой: не существует рекурсивного решения, позволяющего определить, имеет ли диофантово уравнение (многомерное полиномиальное уравнение) решение в целых числах.
• 1971: Доказано, что проблема Суслина не зависит от ZFC.

К разрешению кризиса

Начиная с 1935 года группа французских математиков Бурбаки начала издавать серию книг, чтобы формализовать многие области математики на новом основании теории множеств.

Интуиционистская школа не привлекала многих приверженцев, и только после работы Бишопа в 1967 году конструктивная математика была поставлена ​​на более прочную основу.

Можно считать, что программа Гильберта была частично завершена , так что кризис по существу разрешен, удовлетворяя себя более низкими требованиями, чем первоначальные амбиции Гильберта. Его амбиции были выражены в то время, когда ничего не было ясным: не было ясно, может ли математика вообще иметь строгий фундамент.

Существует множество возможных вариантов теории множеств, которые различаются по степени согласованности, где более сильные версии (постулирующие более высокие типы бесконечностей) содержат формальные доказательства согласованности более слабых версий, но ни один из них не содержит формального доказательства собственной согласованности. Таким образом, единственное, чего у нас нет, — это формального доказательства непротиворечивости любой версии теории множеств, которую мы можем предпочесть, например ZF.

На практике большинство математиков либо не работают с аксиоматическими системами, либо, если они это делают, не сомневаются в непротиворечивости ZFC , как правило, их предпочитаемой аксиоматической системы. В большинстве случаев математики, как она практикуется, неполнота и парадоксы лежащих в ее основе формальных теорий никогда не играли никакой роли, и в тех областях, в которых они участвуют или попытки формализации которых сопряжены с риском формирования противоречивых теорий (таких как логика и категориальная теория). теория), к ним можно относиться осторожно.

Развитие теории категорий в середине 20-го века показало полезность теорий множеств, гарантирующих существование более крупных классов, чем ZFC, таких как теория множеств фон Неймана-Бернейса-Гёделя или теория множеств Тарского-Гротендика , хотя в очень многих Случаи использования больших кардинальных аксиом или вселенных Гротендика формально исключаются.

Одна из целей программы обратной математики — определить, существуют ли области «основной математики», в которых фундаментальные проблемы могут снова спровоцировать кризис.

Источник