Основные геометрические понятия
Основные неопределяемые понятия:
Точка, прямая, плоскость, расстояние, множество, число, величина.
Луч – это часть прямой, у которой есть начало, но нет конца.
Угол – фигура, которая состоит из точки – вершины угла, и двух различных полупрямых, исходящих из этой точки, — сторон угла.
У Истоминой Опр 1. Углом называется фигура, которая состоит из двух различных лучей с общим началом. Эта точка называется вершиной угла, а лучи – его сторонами.
Опр 2. Углом называется часть плоскости, ограниченная двумя различными лучами, исходящими из одной точки. Эти лучи называют сторонами угла.
Смежные углы – углы, у которых одна сторона общая, а другие являются дополнительными полупрямыми.
Биссектриса угла – луч, который исходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит угол пополам.
Отрезок – часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными её точками.
Окружность – это фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки – центра окружности.
Круг – это множество точек, которые расположены на расстоянии х
Опр. 2 Четырёхугольником называется часть плоскости, ограниченная четырьмя попарно непересекающимися отрезками, соединяющими четыре точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой.
Параллелограмм – это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых.
Прямоугольник – это параллелограмм, у которого хотя бы один угол прямой.
Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Квадрат – это ромб, у которого хотя бы один угол прямой. (Прямоугольник, у которого все стороны равны.)
Трапеция – четырёхугольник, у которого только 2 противоположные стороны параллельны.
Отношения: принадлежности, равенства, лежать между.
Отображения: перемещение, поворот, центральная симметрия, симметрия относительно прямой, параллельный перенос.
Фигуры симметричны относительно прямой линии, если они совпадают при перегибании плоскости по этой прямой.
В начальной школе знакомятся с такими понятиями и их свойствами:
Часть прямой от одной точки до другой называют отрезком.
Точки — называют концами отрезка.
Треугольник — это многоугольник, у которого три стороны.
Четырехугольник это многоугольник, у которого четыре стороны.
Ломаными линиями называются фигуры, которые состоят из отрезков, расположенных так, что конец одного является началом следующего отрезка, и никакие два соседних отрезка не принадлежат одной прямой.
Ломаные, у которых начало и конец не совпадают, называются не замкнутыми.
Ломаные, у которых начало и конец совпадают, называются замкнутыми.
Чтобы найти длину ломаной линии, нужно измерить каждое звено ломаной и найти сумму их длин.
Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.
Прямоугольником называется четырёхугольник, у которого все углы прямые.
Треугольники, у которых все стороны разной длины, называются разносторонними.
Треугольники, у которых две стороны равны, 
называются равнобедренными.
Треугольники, у которых все стороны равны, называют равносторонними
Диагональ прямоугольника – это отрезок, который соединяет вершины противоположных углов этого прямоугольника.
Диагональю многоугольника называется отрезок, который соединяет вершины двух углов многоугольника, не имеющих общей стороны.
Диагонали прямоугольника равны.
Отрезки, получаемые при пересечении диагоналей прямоугольника, равные.
При пересечении диагоналей квадрата всегда получаются прямые углы.
Фигура, образованная двумя лучами с одним и тем же началом, называется углом.
Лучи, образующие угол — это стороны угла, а общее начало — вершина угла.
Угол может быть назван по его вершине: на чертеже 1 — это угол М, а на чертеже 2 изображено несколько углов с вершиной А.
Угол, который меньше прямого, называют острым.
Угол, который больше прямого, называют тупым.
Граница круга — окружность. Точка О — центр окружности (круга).
Отрезки, соединяющие центр окружности с любой ее точкой, — радиусы окружности.
В каждой окружности все радиусы равны.
Отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через центр — диаметр.
Источник
Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс (2 стр.)
Свойство фигуры, которое является одновременно и её признаком, называется характеристическим свойством (критерием) данной геометрической фигуры. В принципе, любое характеристическое свойство фигуры можно принять за её определение.
Иногда для удобства выделяют два частных случая теорем – следствие и лемму. Следствие – это утверждение, непосредственно вытекающее из теоремы. Лемма – это вспомогательное утверждение, используемое при доказательстве основной теоремы.
Множество всех неопределяемых понятий и отношений, аксиом и теорем называют аксиоматической теорией. Аксиоматическая теория, построенная на основе девяти приведённых аксиом, называется евклидовой.
Несколько дополнительных сведений по аксиоматическому подходу в геометрии. Система аксиом геометрии подбирается не произвольным образом. К ней предъявляются три основных требования: независимости, непротиворечивости и полноты.
Система аксиом называется независимой, если ни одну из аксиом нельзя вывести как теорему из других аксиом (тогда данная аксиома была бы лишней).
Система аксиом называется непротиворечивой, если из неё нельзя вывести две теоремы, которые противоречат друг другу.
Систему аксиом называют полной, если какое бы утверждение о свойстве той или иной геометрической фигуры мы ни сформулировали, всегда можно установить – истинно оно или ложно.
Приведённая выше система аксиом евклидовой геометрии удовлетворяет всем трём требованиям (доказано А. В. Погореловым).
Помимо евклидовой существуют и другие аксиоматические теории (неевклидовы геометрии). Например, если девятую аксиому евклидовой геометрии заменить на её отрицание («Через точку, не лежащую на прямой, можно провести более одной прямой, параллельной данной»), а остальные оставить без изменения, получим планиметрию Лобачевского. Тогда будут доказаны неожиданные для нас утверждения: «Сумма углов в треугольнике меньше двух прямых», «существуют треугольники, около которых нельзя описать окружность», «не существует подобных треугольников» и многие другие.
Изменяя систему аксиом, а также меняя неопределяемые понятия и отношения, мы будем получать другие неевклидовы геометрии (сферическую, эллиптическую и так далее).
Помимо аксиоматического, в геометрии широко распространён аналитический подход. Его суть состоит в том, что на плоскости вводится система координат и каждой точке ставится в соответствие пара чисел (х; у) – её координаты. Благодаря этому удаётся записывать уравнения различных фигур (прямых, окружностей и так далее), изучать их свойства. Введение декартовой прямоугольной системы координат и применение алгебраического аппарата нередко позволяют легче решать многие задачи по геометрии.
Обобщением (в определённом смысле) аналитического подхода в геометрии является векторный подход. Разница состоит в том, что на плоскости вводится векторная (аффинная) система координат, причём два базисных вектора не обязательно перпендикулярны друг другу и к тому же могут различаться по длине. Введение векторной системы координат также нередко позволяет быстрее и проще решать целый ряд геометрических задач.
В высшей геометрии весьма распространён групповой подход. Группой называется непустое множество М, на котором определена некоторая операция*, причём выполняются следующие условия:
1) для любых элементов а, в, с из М(а*в)*с = а*(в*с):
2) существует элемент е из М, такой, что а*е = е*а = а:
3) для любого элемента а существует элемент а-1, что а*а-1= а-1*а = е.
В геометрии можно выделить множество групп, например, группу перемещений, группу преобразования подобия. Самой важной группой в планиметрии является группа перемещений плоскости, так как с её помощью вводится понятие равных фигур. Равные фигуры обладают одинаковыми геометрическими свойствами, которые не изменяются (инвариантны) под действием перемещений. В целом можно сказать, что каждая группа преобразований задаёт свою геометрию, в которой изучаются свойства фигур, инвариантные (неизменяемые) относительно данной группы преобразований.
Инварианты группы перемещений (и других групп) «невидимо» присутствуют при решении задач методом геометрических преобразований. Так, строя образы фигур при различных видах движений (симметрия, параллельный перенос и так далее), мы получаем равные фигуры, что позволяет в ряде случаев успешно решать сложные задачи.
1.2. Вопросы для самопроверки
1. Что изучает геометрия? (1)
2. Что означает слово «геометрия» в переводе с греческого языка? (1)
3. В каких видах человеческой деятельности нужны знания по геометрии и пространственное воображение? Покажите эту значимость в деятельности: а) рабочего; б) инженера; в) архитектора; r) художника; д) Вас лично в решении бытовых задач. (1)
4. Что изучает планиметрия? Приведите примеры геометрических фигур и их свойств. (1)
5. Назовите основные (неопределяемые) понятия в планиметрии. (1)
6. Какие вы знаете неопределяемые отношения в курсе геометрии? (1)
7. Что значит дать определение геометрической фигуры? (1)
8. В чем состоит сущность аксиоматического подхода в геометрии? (1)
9. Что такое аксиома? (1)
10. Что такое теорема? (1)
11. Перечислите аксиомы планиметрии. (1)
12. Что значит доказать теорему? (1)
13. Из каких частей состоит теорема? (1)
14. Какая теорема называется: а) обратной; б) противоположной; в) противоположной к обратной? (1)
15. Даны четыре теоремы: прямая, обратная, противоположная, противоположная к обратной. Какие пары из перечисленных теорем являются эквивалентными? (1–2)
16. В чем состоит сущность метода доказательства теорем от противного? (1)
17. Что такое теорема-свойство и теорема-признак? (1)
18. Что такое характеристическое свойство геометрического объекта (фигуры, тела и т. д.)? Как связаны между собой термины «характеристическое свойство объекта» и «определение объекта»? (1)
19. Какие требования предъявляются к системе аксиом? (3)
20. Как вы понимаете следующие высказывания:
а) система аксиом непротиворечива; (3)
б) система аксиом независима; (3)
в) данная система аксиом – полная (3)?
21. Какая геометрия называется евклидовой? (1)
22. Какие неевклидовы геометрии вы знаете? (3)
23. В чем отличие аксиоматики Лобачевского от систем аксиом Евклида? (3)
24. В чем суть аналитического подхода в геометрии? (2)
25. Что такое аффинная система координат? (2)
26. Что такое группа? В чем суть группового подхода в геометрии? (3)
27. Что такое инвариант? (3)
1.3. Темы для сообщений и рефератов
1. Высказывания. Операции над высказываниями. Законы математической логики.(2)
2. Основные факты планиметрии Лобачевского. (3)
3. Особенности геометрии на сфере. (3)
4. Методы доказательства теорем (прямое доказательство, от противного, контрпример, метод симметрии и т. д.). (1–2)
5. Группы преобразований плоскости и их инварианты. (3)
6. Топологические многообразия в геометрии. (3)
§ 2. Основные понятия планиметрии
2.1. Справочная информация
На экзамене по геометрии очень важно давать правильные (корректные) определения. Часто допускаются такие ошибки, как «порочный круг» (например, круг – это часть плоскости, ограниченной окружностью, а окружность – это граница круга), наличие синонима определяемого термина в определении, пропуск «несущественных деталей» (например, касательная к окружности – это прямая, имеющая с окружностью одну общую точку, «деталь» – это тот факт, что прямая должна лежать с окружностью в одной плоскости).
Определения геометрических фигур можно дать различными способами:
1. Через род и видовое отличие.
Например: квадрат – это прямоугольник с равными сторонами. Прямоугольник в определении – ближайший род, равенство сторон – видовое отличие.
2. Генетически (указание происхождения понятия).
Например, окружность – это множество точек плоскости, находящихся на равном расстоянии от данной точки, лежащей в этой плоскости.
3. Через указание свойств фигуры (дескрипции).
Пример: число ? – это то число, которое, будучи умножено на длину диаметра, даёт длину его окружности.
4. Конструктивно (указывается способ построения объекта).
Пример: пусть дана произвольная окружность. Разделим её на n равных частей последовательно расположенными точками А1, А2. Ап. Замкнутая ломаная A1A2. АnА1 образует правильный n-угольник.
К примеру, определение площади фигуры F даётся как числовая функция S(F), удовлетворяющая определённым условиям (аксиомам).
Другие способы дачи определений в геометрии встречаются крайне редко.
Перейдём к определениям.
Неопределяемыми геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая.
Источник
Тест по основаниям геометрии
Тест по основаниям геометрии
Где были добыты первые сведения по геометрии?
в странах Древнего Востока
в Древней Греции
в Российском государстве
в Османской империи
«Отец» греческой математики, доказавший теоремы о свойствах углов при основании равнобедренного треугольника, свойствах вертикальных углов и некоторых других теорем:
Аксиоматический метод построения геометрии заключается в следующем:
Выделяются основные понятия, формулируются аксиомы теории, а остальные утверждения выводятся логическим путем, опираясь на них;
все в геометрии доказывается только с помощью аксиом
геометрия не опирается на аксиомы
некоторое утверждение справедливо для всякого натурального если оно справедливо для и, из справедливости утверждения для какого-либо произвольного натурального числа следует его справедливость для
объединяет учение о плоских фигурах.
Первым опытом применения аксиоматического метода было:
система аксиом Гильберта
система аксиом Пеано
Группа аксиом, не относящаяся к системе аксиом Гильберта:
Кем была предложена аксиоматика, основанная на понятии движения?
Кому принадлежит аксиоматика, основанная на понятии о численном расстоянии?
Что такое постулаты Евклида?
утверждения о геометрических объектах
общие утверждения о свойствах геометрических объектов
утверждение, выводимое из множества аксиом посредством использования конечного множества правил вывода
утверждения, отражающие существенные свойства, связи и отношения предметов и явлений в их противоречии и развитии
На какой системе аксиом основывается школьный курс геометрии?
Основные не определяемы понятия, которые являются «фундаментом геометрии»:
точка, прямая, плоскость
отношение порядка, принадлежность
постулаты, аксиомы, определения
Кто автор труда «Начала»?
Из скольких книг состоят «Начала»?
В каком периоде жил Евклид?
Какую теорию содержит VI глава «Начал»?
теория подобия фигур
теория отношений по Евдоксу
основные алгебраические тождества
арифметику в геометрическом изложении
В каком веке созданы «Начала»?
Очевидность какого из постулатов Евклида оспаривалась?
Выберите правильную формулировку пятого постулата:
через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной
из любого центра можно описать окружность любого радиуса
все прямые углы равны
из каждой точки до всякой другой точки можно провести прямую
каждую ограниченную прямую можно неограниченно продолжить
В чем заключается алгоритм Евклида?
эффективный алгоритм для нахождения НОД двух целых чисел
эффективный алгоритм для нахождения НОК двух целых чисел
эффективный алгоритм для нахождения НОК двух натуральных чисел
эффективный алгоритм для нахождения НОД двух натуральных чисел
эффективный алгоритм для нахождения НОК двух действительных чисел
Где жил Евклид в 3 веке до нашей эры?
Кто нашел приближение для числа
С именем какого великого ученого Греции связывают развитие математики?
Кто из ученых автор сочинения «О размерах и расстояниях Солнца и Луны»?
К какому веку относится зарождение математики в Греции?
Какие понятия ввел в математику ученый Евдокс?
отрезок, прямая, угол
треугольник, прямоугольник, квадрат
высота, медиана, биссектриса
Сколько математических теорем доказал Евдокс ?
Кто из ученых изобрел дедуктивную математику?
Какие числа греки называли треугольными?
Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника делит его гипотенузу на отрезки, равные 7 и 24. Чему равен радиус окружности, вписанной в этот треугольник?
В равнобедренном треугольнике медиана перпендикулярна биссектрисе Какова величина угла
Три окружности радиусов 1,2 и 3 ксаются друг друга внешним образом. Каков радиус окружности, проходящей через точки касания этих окружностей?
В каком году родился П.Л. Чебышёв?
Сколько работ насчитывается в научном наследии Чебышёва?
В каких годах 19 века Чебышёв начал работать над теорией чисел?
Выберите правильную формулировку аксиомы о параллельных:
через точку, не лежащую на данной прямой, нельзя провести более одной прямой, параллельной этой заданной прямой
через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести более одной прямой, параллельной этой заданной прямой
через точку, не лежащую на данной прямой, нельзя провести ни одной прямой, параллельной этой заданной прямой
через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести несколько прямых, параллельных этой заданной прямой
через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не менее одной прямой, параллельной этой заданной прямой
Авторы неевклидовой геометрии
Лобачевский и Я. Больяи
Лобачевский, Больяи и Гаусс
Ламберт и Гаусс
Лобачевский и Ламберт
Основа геометрии Лобачевского
Учение о параллельных прямых
Учение о пересекающихся прямых
Учение о перпендикулярных прямых
Учение о бесконечности прямой
Учение о замкнутости прямой
Второе название геометрии Лобачевского в России:
В геометрии Лобачевского сумма углов любого треугольника
больше , но меньше
В геометрии Лобачевского имеет место четвертый признак равенства треугольников:
если углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника, то эти треугольники равны.
две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу ними другого треугольника
сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника
три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника
два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника
Лобачевский в 1835 году написал сочинение:
«Новые начала геометрии с полной теорией параллельных прямых»
«Теория о параллельных прямых»
«Опровержение пятого постулата»
Положение, принимаемое без логического доказательства в силу непосредственной убедительности, истинное исходное положение теории:
Слово «Аксиома» происходит от греческого слова «аксиос» и означает:
утверждение, не вызывающее сомнений
утверждение, требующее доказательства
рассуждение, устанавливающее какое-либо свойство
Изложение оснований геометрии, созданное Гильбертом, опирается на:
Точка и прямая являются:
нет верного ответа
Через две точки на плоскости Евклида можно провести:
не более одной прямой
не более двух прямых
ровно две прямые
бесконечное множество прямых
Часть прямой, исходящая из точки, называется
Часть плоскости, заключенная между двумя лучами этой плоскости, имеющими общее начало, называется:
Определение – это предложение,
которое принимается без доказательства
в котором разъясняется смысл вводимого понятия
основное понятие теории
которое обязательно нужно доказать
нет верного ответа
Всякая аксиоматическая теория строится по следующему плану
1. Сначала перечисляются основные понятия — основные образы и основные отношения.
2. Далее приводится список аксиом-предложений, в которых фиксируются некоторые свойства основных понятий, необходимые для построения теории.
3. Все последующие предложения (теоремы) должны быть получены из аксиом при помощи лишь одних логических законов.
4. Все понятия, не являющиеся основными, должны быть определены через основные и понятия, ранее введенные
Дайте определение обоснования геометрии
Перечисление аксиом и определений, достаточных для строгого логического определения всех других понятий геометрии называется обоснованием геометрии.
Как называется раздел математики, изучающий обоснования геометрии?
Дайте определение понятия математической структуры рода Т
Дайте определение теории структуры рода Т
Дайте определение модели системы аксиом
Что такое изоморфные модели системы аксиом?
Какая система аксиом называется содержательно непротиворечивой?
Какая система аксиом называется противоречивой?
Какая система аксиом называется внутренне непротиворечивой?
Какая аксиома называется зависимой от остальных аксиом системы?
Какая система аксиом называется независимой?
Сформулируйте признак, позволяющий определить независимость системы аксиом.
Какая система аксиом называется полной?
Какая система аксиом называется неполной?
Что достаточно доказать для определения полноты системы аксиом?
Какая математическая теория называется однозначной?
Какая математическая теория называется многозначной?
Система аксиом Вейля содержит
3 группы аксиом
4 группы аксиом
1 группу аксиом
Аксиомы векторного пространства описывают свойства
сложения векторов и умножения вектора на число
сложения векторов и скалярного умножения векторов
линейно зависимой системы векторов
откладывания вектора от точки
скалярного умножения векторов
Размерность векторного пространства определяется свойствами
сложения векторов и умножения вектора на число
сложения векторов, скалярного умножения векторов
линейно зависимой системы векторов
откладывания вектора от точки
скалярного умножения векторов
Система аксиом трехмерного аффинного пространства состоит из
аксиом 1,2,3,4,5 групп аксиоматики Вейля
аксиом 1,2,3,5 групп аксиоматики Вейля
аксиом 1,3,4,5 групп аксиоматики Вейля
аксиом 2,3,4,5 групп аксиоматики Вейля
аксиом 1,2,3,4, групп аксиоматики Вейля
Система аксиом трехмерного евклидова пространства состоит из
аксиом 1,2,3,4,5 групп аксиоматики Вейля
аксиом 1,2,3,5 групп аксиоматики Вейля
аксиом 1,3,4,5 групп аксиоматики Вейля
аксиом 2,3,4,5 групп аксиоматики Вейля
аксиом 1,2,3,4, групп аксиоматики Вейля
Сформулируйте аксиому Лобачевского
пусть а — любая прямая ; т. А не а. тогда в плоскости, определяемой т.А и прямой а, существует не менее двух прямых, проходящих через т.А и не пересекающих прямую а.
Что представляет собой абсолютная геометрия?
абсолютна геометрия – геометрия построенная на системе аксиом Евклида без 5 постулата.
Что такое сечение Дедекинда?
разбиение точек прямой на 2 класса.
разбиение множества рациональных чисел Q на 2 подмножества А и В такие что:
не имеет минимального элемента.
Дайте определение параллельных прямых в геометрии Лобачевского
Прямая AZ и симметричная ей относительно AB прямая AZ ` называется параллельными к прямой а в т. А в направлении BN (или BN `, которая – противоположная к BN ).
Что такое «стрелка»?
На данном рисунке стрелкой является прямая AB , так же она является высотой проведенной к прямой а.
Дайте определение угла параллельности на плоскости Лобачевского
Угол BAZ = углу BAZ `= называется углом параллельности для «стрелки» AB .
Если «стрелки» равны, то
углы параллельности равны
углы параллельности пропорциональны
углы параллельности отличаются на
углы параллельности отличаются на
углы параллельности отличаются на
Зависимость угла параллельности от «стрелки» выражается
Выберите свойства параллельных прямых на плоскости Лобачевского:
две параллельные прямые на плоскости Лобачевского имеют общий перпендикуляр
понятие параллельных прямых на плоскости Лобачевского транзитивно в данном направлении
понятие параллельных прямых на плоскости Лобачевского симметрично в данном направлении
расстояние между параллельными прямыми бесконечно убывает в направлении параллельности и неограниченно растет в противоположном направлении
для любого острого угла на плоскости Лобачевского существует прямая, перпендикулярная к одной стороне угла и параллельная к другой.
Дайте определение сверхпараллельных прямых на плоскости Лобачевского
Не пересекающиеся и не параллельные прямые плоскости плоскости Лобачевского называется сверхпараллельными(расходящимися) прямыми.
Выберите свойства свехпараллельных прямых на плоскости Лобачевского:
две параллельные прямые на плоскости Лобачевского имеют общий перпендикуляр
понятие параллельных прямых на плоскости Лобачевского транзитивно в данном направлении
понятие параллельных прямых на плоскости Лобачевского симметрично в данном направлении
расстояние между параллельными прямыми бесконечно убывает в направлении параллельности и неограниченно растет в противоположном направлении
для любого острого угла на плоскости Лобачевского существует прямая, перпендикулярная к одной стороне угла и параллельная к другой
Сумма углов любого треугольника на плоскости Лобачевского
не постоянна и меньше
не постоянна и больше
постоянна для каждого треугольника
Если прямые Лобачевского составляют с третьей прямой соответственно равные углы, то прямые
прямые равноудалены от
прямые параллельны прямой
На плоскости Лобачевского существует
три вида пучков прямых: пучок параллельных прямых в заданном направлении; пучок пересекающихся прямых; пучок сверхпараллельных прямых;
два вида пучков прямых: пучок параллельных и пучок пересекающихся прямых;
два вида пучков прямых: пучок параллельных и пучок сверхпараллельных прямых;
два вида пучков прямых: пучок пересекающихся и пучок сверхпараллельных прямых;
один вид пучков прямых: пучок параллельных прямых;
Дайте определение окружности на плоскости Лобачевского:
Окружностью на плоскости Лобачевского называется множество точек этой плоскости, равноудаленных от данной т. — центр окружности.
Дайте определение эквидистанты на плоскости Лобачевского:
Эквидистантой называется множество точек плоскости Лобачевского , равноудаленных от данной прямой а и лежащих в одной полуплоскости относительно прямой а. с эквидистантой связан пучок расходящихся прямых, который является множеством всех высот эквидистанты.
Дайте определение орицикла на плоскости Лобачевского:
Ориццикл это предельная линия ― линия на плоскости Лобачевского, ортогональная к некоторому семейству параллельных прямых.
Через любую точку одной из двух параллельных прямых проходит единственная секущая равного наклона к этим прямым.
Выберите правильное утверждение:
окружность, эквидистанта и орицикл обладают несколькими общими свойствами;
свойства окружности, эквидистанты и орицикла различны;
свойства окружности, эквидистанты и орицикла одинаковы;
свойства окружности и эквидистанты одинаковы, и не совпадают со свойствами орицикла;
свойства орицикла и эквидистанты одинаковы, и не совпадают со свойствами окружности;
Плоскость Лобачевского реализуется в евклидовом пространстве
только в модели Пуанкаре на полуплоскости;
в модели Пуанкаре в круге, в модели Пуанкаре на полуплоскости; в модели Бельтрами –Клейна в круге; в модели на псевдосфере; в модели на одной полости двуполостного гиперболоида;
в модели Бельтрами –Клейна в круге; в модели на псевдосфере; в модели на одной полости двуполостного гиперболоида;
только в модели на псевдосфере;
только в модели на одной полости двуполостного гиперболоида.
Сформулируйте аксиому Римана
Если в некоторой плоскости заданы прямая а и тока А не а . то каждая прямая, проходящая через т.А , пересекает а, т.е не существует b : ba =пустому множеству, А b .
Дайте определение геометрии Римана
В эллиптической геометрии Римана любые 2 прямые на плоскости пересекаются и параллельных прямых не существует.
Дайте определение расширенной евклидовой плоскости
Расширенная Евклидова плоскость – это плоскость дополнен с бесконечно удаленными точками прямыми.
Чем отличаются геометрии Евклида, Лобачевского и Римана?
Отличное количество прямых , которые можно провести в плоскости через внешнюю к данной прямой точку так, чтобы они не пересекали данную прямую.
По Евклиду существует единственная прямая, не пересекающая данную прямую, проходящая через данную точку вне этой прямой.
По Лобачевскому – по меньшей мере две ( а значит – бесконечно много прямых._
У Римана любые 2 прямые на плоскости пересекаются и параллельных прямых не существует.
Что общего имеют геометрии Евклида, Лобачевского и Римана?
Аксиомы абсолютной геометрии.
Какие виды пучков прямых существуют на плоскости Римана?
три вида пучков прямых: пучок параллельных прямых в заданном направлении; пучок пересекающихся прямых; пучок сверхпараллельных прямых;
два вида пучков прямых: пучок параллельных и пучок пересекающихся прямых;
два вида пучков прямых: пучок параллельных и пучок сверхпараллельных прямых;
два вида пучков прямых: пучок пересекающихся и пучок сверхпараллельных прямых;
один вид пучков прямых: пучок пересекающихся прямых;
Геометрия Римана реализуется
только в связке прямых и плоскостей евклидова пространства и на расширенной евклидовой плоскости;
только на сфере с отождествленными диаметрально противоположными точками и на расширенной евклидовой плоскости;
только на полусфере с отождествленными диаметрально противоположными точками экватора и на расширенной евклидовой плоскости;
только на расширенной евклидовой плоскости;
в связке прямых и плоскостей евклидова пространства; на сфере с отождествленными диаметрально противоположными точками; на полусфере с отождествленными диаметрально противоположными точками экватора; на расширенной евклидовой плоскости;
В геометрии Римана сумма углов любого треугольника
не постоянна и меньше
не постоянна и больше
постоянна для каждого треугольника
Выберите верные утверждения:
на плоскости Римана прямая линия конечна
на плоскости Римана прямая линия бесконечна
на плоскости Римана прямая линия замкнута
на плоскости Римана прямая линия не замкнута
на плоскости Римана прямая линия не является непрерывной
В какой из геометрий верно утверждение: существует прямая линия, перпендикулярная к одной из двух параллельных прямых и параллельная к другой?
только в геометрии Евклида
только в абсолютной геометрии
только в геометрии Лобачевского
только в геометрии Римана
в геометрии Римана и Лобачевского
В какой из геометрий не существует понятия «подобие фигур»?
только в геометрии Евклида
только в абсолютной геометрии
только в геометрии Лобачевского
только в геометрии Римана
в геометрии Римана и Лобачевского
Номер материала: ДБ-907850
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Учебный год начнется в традиционном формате
Время чтения: 1 минута
Минпросвещения не планирует вводить дистанционку в школах в новом учебном году
Время чтения: 1 минута
Российские школьники завоевали четыре медали на iGeo-2021
Время чтения: 2 минуты
В регионы направлены рекомендации по графику контрольных в школах
Время чтения: 2 минуты
Утверждено расписание ВПР в 2022 году
Время чтения: 3 минуты
Школьникам с хроническими болезнями будут рекомендовать прививку от COVID
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Источник