Площадь стен параллелепипеда формула 3 класс

Площадь поверхности параллелепипеда

Что такое площадь поверхности параллелепипеда

Параллелепипед — четырехугольная призма, основаниями которой являются параллелограммы. Частный случай этой геометрической фигуры — прямой параллелепипед, у которого все грани являются прямоугольниками.

В общем случае площадь — это численное значение, характеризующее размер двумерной геометрической фигуры.

Параллелепипед может существовать только в трех измерениях, поэтому для него вводится понятие площади поверхности. В геометрическом смысле площадь поверхности объемной фигуры является совокупностью площадей ее граней.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Формула нахождения полной площади

В задачах чаще всего имеется дело с прямоугольным параллелепипедом. Для него полная площадь поверхности вычисляется следующим образом:

\(S=2\cdot(a\cdot b+a\cdot c+b\cdot c)\)

где a, b и c — длины ребер, исходящих из любой вершины параллелепипеда.

Рассмотрим то, как данная формула выводится. Как уже упоминалось выше, площадь поверхности объемной фигуры является совокупностью площадей ее граней. Для наглядности возьмем параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁.

Полная площадь его поверхности равняется сумме площадей всех граней: \(S_<пар>=S_+S_+S_+S_+S_+S_\)

Согласно свойствам параллелепипеда, его противоположные грани равны между собой. Следовательно, нет необходимости вычислять площадь всех шести граней, можно ограничиться тремя, а затем их сумму умножить на 2:

Грани прямого параллелепипеда являются прямоугольниками. Площадь данной фигуры равняется произведению ее сторон:

У выбранных нами для расчета площади граней есть три общие стороны: AB, AD и AA₁. Для удобства обозначим их как a, b и c соответственно.

Подставим данные значения в обозначенную выше формулу площади параллелепипеда:

\(S_<пар>=2\cdot\left(a\cdot b+a\cdot c+b\cdot c\right)\)

Вычисление площади боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда

Кроме полной площади поверхности, в расчетах иногда необходимо вычислить площадь боковой поверхности, то есть совокупность площадей боковых граней, без учета оснований.

Для этого есть три взаимосвязанные формулы:

1. \(S_<бок>=P_<осн>\cdot h,\) где \(P_<осн>\) — периметр основания параллелепипеда; h — высота. На рисунке выше она равняется стороне, обозначенной как c.
2. \(S_<бок>=2\cdot a\cdot c+2\cdot b\cdot c\) , где a, b и c — длины ребер, исходящих из любой вершины параллелепипеда.
3. \(S_<бок>=2\cdot c\cdot(a+b).\)

Примеры решения задач

Задача

Вычислить полную площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁.

Дано: AB = 3, A₁B = 6, AD = 5.

Решение

Для расчета полной площади необходимо знать длины трех сторон. В данном случае нам понадобится вычислить длину стороны AA₁. Так как длина диагонали A₁B известна, сделать это нетрудно.

Воспользуемся теоремой Пифагора:

Подставим известные значения в формулу расчета площади поверхности:

\(S=2\cdot(a\cdot b+a\cdot c+b\cdot c)\)

\(S=2\cdot(AB\cdot AD+AB\cdot AA_1+AD\cdot AA_1)=2\cdot(3\cdot5+3\cdot5+5\cdot5)=2\cdot(15+15+25)=2\cdot55=110\)

Задача 2

Вычислить длину стороны прямого параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁.

Решение

Так как нам известна одна из сторон основания — b а в основании параллелепипеда лежит прямоугольник, найти вторую сторону проще всего будет через площадь этого основания:

Отличие площади боковой поверхности от полной в том, что в ней не учитываются нижняя и верхняя грани фигуры. Следовательно, их разность будет равняться двум площадям основания. Вычислим это значение:

\(S_<пов>-S_<бок>=2\cdot a\cdot b+2\cdot a\cdot c+2\cdot b\cdot c-2\cdot a\cdot c-2\cdot b\cdot c=2\cdot a\cdot b\)

Преобразуем выражение так, чтобы вычислить длину неизвестной стороны:

Источник

Площадь параллелепипеда

Найти площадь параллелепипеда, зная ребра

Формула нахождения полной площади параллелепипеда

Параллелепипед – это четырехугольная призма, в основании имеющая параллелограмм. Существуют готовые формулы для расчета боковой и полной площади поверхности фигуры, для которых необходимы лишь длины трех измерений параллелепипеда.

Общие понятия

Изучим основные понятия. В дальнейших наших рассуждениях площадь будем обозначать латинской буквой S, угол между сторонами a и b будем обозначать как (ab).

Параллелепипедом в математике именуется четырехугольная призма, у которой все грани являются параллелограммами.

1. Грань — одна из поверхностей пространственного тела.
2. Параллелограмм — четырёхугольник с попарно параллельными противоположными сторонами.
3. Поверхности параллелепипеда это сумма поверхностей всех его граней.
4. Прямоугольный параллелепипед — пространственное тело у которого гранями являются прямоугольники.
5. Прямоугольник — четырёхугольник у которого все углы прямые.
6. Куб — пространственное тело у которого гранями являются квадраты.
7. Квадрат — прямоугольник у которого все стороны равны между собой.
8. Равными называются фигуры, совмещающиеся при наложении.

Площадь поверхности куба

Здесь все крайне просто — грани этой фигуры равны между собой, так что S = a*a*6.

На примере это выглядит следующим образом:

Сторона равна 88 сантиметров. Площадь полной поверхности?

При данных условиях имеем:

S = a*a*6 = 88*88*6 = 46 464 сантиметра квадратного.

Пример задачи

Вычислите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если известно, что его длина равна 6 см, ширина – 4 см, а высота – 7 см.

Решение:
Воспользуемся формулой выше, подставив в нее известные значения:
S = 2 ⋅ (6 см ⋅ 4 см + 6 см ⋅ 7 см + 4 см ⋅ 7 см) = 188 см 2 .

Нахождение площадей фигур

Рассмотрим, как находятся площади, могущие составлять грани параллелепипеда.

1. Площадь квадрата равна произведению его стороны самой на себя. Формула площади квадрата имеет вид S = a*a = a^2.
2. Прямоугольника – вычисляется с помощью умножения большей его стороны (длины) на меньшую его сторону (ширину). Формула площади прямоугольника имеет вид S = a*b.
3. Параллелограмма – найти сложнее и имеется несколько различных способов. Наиболее часто в математике применяются формулы для нахождения с помощью стороны и опущенной на неё высоты или двух сторон и синуса угла между ними. Записываются они следующим образом: S = a*h, S = a*b*sin (ab).

Рассмотрим на примерах как найти площадь каждой из рассматриваемых нами фигур.

1. Длина стороны квадрата равна 1600 метров. Определим его площадь.

• S = a*a, отсюда в искомом случае S = 1600*1600 = 2 560 000 метров квадратных.

2. Стороны прямоугольника равны 90 и 200 метров соответственно. Определим его S.

• S = a*b, следовательно в нашем варианте получится S = 90*200 = 18 000 метров квадратных.

3. С параллелограммом рассмотрим два случая нахождения.

Сторона равна 300 метров, а опущенная на неё высота 250 метров. Тогда получится:

• S = a*h = 300*250 = 75 000 метров квадратных.

Второй вариант — стороны равны 550 и 200 метров соответственно. Угол между ними 30 градусов. Имеем:

• S = a*b*sin (ab) = 550*200*sin 30 = 110 000*0.5 = 55 000 квадратных метров.

Как видно из примеров, приведённых выше, никаких сложностей нет.

Как найти площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда

Необходимо различать прямоугольный и прямой параллелепипед. Основание прямой фигуры может представлять собой любой параллелограмм. Площадь такой фигуры необходимо вычислять по другим формулам.

Сумма S боковых граней прямоугольного параллелепипеда вычисляется по простой формуле P*h, где P – периметр и h – высота. На рисунке видно, что у прямоугольного параллелепипеда противоположные грани равны, а высота h совпадает с длиной ребер, перпендикулярных основанию.

Найти площадь поверхности параллелепипеда

Параллелепипед – это призма, основанием которой служит параллелограмм. В параллелепипеде противоположные грани равны и параллельны. Диагонали его пересекаются в одной точке, которая лежит на оси симметрий, и делятся ею пополам.

• Прямой параллелепипед – параллелепипед, боковые рёбра которого перпендикулярны к основаниям.
• Наклонный параллелепипед – параллелепипед, боковые рёбра которого не перпендикулярны к основаниям.
• Прямоугольный – прямой параллелепипед, основания которого – прямоугольники.

Площадь полной поверхности параллелепипеда равна сумме площадей её боковых поверхностей и площади основания:

S = 2 cdot (a cdot b + b cdot c + a cdot c)

1. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если его стороны равны 2, 3, 4 см
   Посмотреть решение

Дано:

Решение:

По формуле площади поверхности прямоугольного параллелепипеда:

S = 2 cdot ( a cdot b + a cdot c + b cdot c)

S = 2 cdot ( 2 cdot 3 + 2 cdot 4 + 3 cdot 4) = 52 см^2

Ответ:

Дано:

Решение:

Находим сторону b:

S = 2 cdot (a cdot b + a cdot c + b cdot c)

S = 2 cdot (3 cdot 6 + 3 cdot 5 + 5 cdot 6)

Ответ:

Дано:

Решение:

Находим сторону c:

S = 2 cdot c cdot (a + b) , отсюда: c = frac < 2 cdot (a + b) >= 3 см

По формуле площади поверхности прямоугольного параллелепипеда находим площадь:

S = 2 cdot (a cdot b + a cdot c + b cdot c)

S = 2 cdot (1 cdot 2 + 1 cdot 3 + 2 cdot 3) = 22 см^2

Ответ:

Дано:

Решение:

Найдем сторону c: V = a cdot b cdot c , отсюда: c = frac <(a cdot b )>= 5 см $

S = 2 cdot (a cdot b + a cdot c + b cdot c)

S = 2 cdot (2 cdot 2 + 2 cdot 5 + 2 cdot 5) = 48 см^2

Ответ:

Дано:

a = 2 см b = 4 см

Решение:

Находим сторону c:

d^2 = a^2 cdot b^2 cdot c^2 , отсюда:

По формуле для площади поверхности прямоугольного параллелепипеда находим площадь:

S = 2 cdot (a cdot b + a cdot c + b cdot c)

S = 2 cdot (2 cdot 4 + 2 cdot 4 + 4 cdot 4) = 64 см^2

Ответ S = 64 см^2

Пример решения задачи

Приведенные формулы могут использоваться в ходе поиска диагоналей параллелепипеда.

Для нахождение B1D достаточно применить теорему Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Формула вычисления площади

Площадь (S) поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется следующим образом:

Формула получена следующим образом:

1. Гранями прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольники, причем противоположные грани равны между собой:
   • два основания: со сторонами a и b;
   • четыре боковые грани: со стороной a/b и высотой c.
2. Сложив площади всех граней, каждая из которых равна произведению сторон разной длины, получаем: S = ab + ab + bc + bc + ac + ac = 2 (ab + bc + ac).

Заключение

Тщательно изучив все сказанное выше, можно отметить, что никакой особой сложности задача по определению площади параллелепипеда не вызывает. Нужно всего-навсего чётко представлять все данные в материале математические понятия, абсолютно точно выучить формулы, ну и, разумеется, уметь хорошо проводить арифметические действия.

Источник

Площадь стен параллелепипеда формула 3 класс

Пусть рёбра будут равны а, b, с.

Пусть ребро куба равно а.

*Понятно, что формулы куба являются следствием из соответствующих формул прямоугольного параллелепипеда. Куб – это параллелепипед, у которого все рёбра равны, грани являются квадратами.

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 5 и 8. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 210. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.

Обозначим известные ребра за а и b, а неизвестное за c.

Тогда формула площади поверхности параллелепипеда выражается как:

Остаётся подставить данные и решить уравнение:

Площадь поверхности куба равна 200. Найдите его диагональ.

Построим диагональ куба:

Площадь поверхности куба выражается через его ребро а как S = 6а 2 , значит можем найти ребро а:

Диагональ грани куба по теореме Пифагора равна:

Диагональ куба по теореме Пифагора равна:

Тогда

*Можно было сразу воспользоваться формулой диагонали куба:

Объем куба равен 343. Найдите площадь его поверхности.

Площадь поверхности куба выражается через его ребро а как S = 6 а 2 , а объем равен V = а 3 . Значит можем найти ребро куба и затем вычислить площадь поверхности:

Таким образом, площадь поверхности куба равна:

27060. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1 и 2. Площадь поверхности параллелепипеда равна 16. Найдите его диагональ.

Диагональ параллелепипеда вычисляется по формуле:

где а, b и с рёбра.

Найдём третье ребро. Мы можем это сделать воспользовавшись формулой площади поверхности параллелепипеда:

Подставляем данные и решаем уравнение:

Таким образом, диагональ будет равна:

27063. Найдите боковое ребро правильной четырехугольной призмы, если сторона ее основания равна 20, а площадь поверхности равна 1760.

В основании правильной четырёхугольной призмы лежит квадрат. Понятно, что она является параллелепипедом. Формулы применяются те же. Пусть боковое ребро будет равно х. Его мы можем найти используя формулу площади поверхности:

Из единичного куба вырезана правильная четырехугольная призма со стороной основания 0,8 и боковым ребром 1. Найдите площадь поверхности оставшейся части куба.

Единичный куб это куб с ребром равным 1.

Площадь поверхности получившегося многогранника можно вычислить следующим образом: от площади поверхности куба нужно вычесть две площади основания вырезанной призмы и прибавить четыре площади боковой грани вырезанной призмы со сторонами 1 и 0,8:

Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 48. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 8. Найдите объем параллелепипеда.

Достаточно применить формулу объёма.

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его ребер, или произведению площади основания на высоту. В данном случае роль основания играет грань, роль высоты ребро, которое ей перпендикулярно. Получим:

Следующие задачи вы решите без труда.

27077. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 64. Одно из его ребер равно 4. Найдите площадь грани параллелепипеда, перпендикулярной этому ребру. Ответ: 16.

27078. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 60. Площадь одной его грани равна 12. Найдите ребро параллелепипеда, перпендикулярное этой грани. Ответ: 5.

27079. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 8 и 6. Объем параллелепипеда равен 240. Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины. Ответ: 4.

Ещё для самостоятельного решения:

27054. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 4. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 94. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.

27055. Площадь поверхности куба равна 18. Найдите его диагональ.

27056. Объем куба равен 8. Найдите площадь его поверхности.

27075. Из единичного куба вырезана правильная четырехугольная призма со стороной основания 0,5 и боковым ребром 1. Найдите площадь поверхности получившегося многогранника.

27076. Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 12. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 4. Найдите объем параллелепипеда.

Диагональ куба равна корню из трёхсот. Найдите его объем.

Обозначим ребро куба как a.

Объём куба вычисляется по формуле:

То есть для нахождения объёма куба необходимо найти его ребро.

Диагональ куба находится по формуле:

Это задача обратная предыдущей.

Диагональ куба находится по формуле:

Выразим ребро куба из формулы объёма подставим:

*Если вы хотите вспомнить как работать со степенями и корнями, тогда вам сюда .

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 72 и 18. Диагональ параллелепипеда равна 78. Найдите объем параллелепипеда.

Пусть рёбра параллелепипеда равны a, b и с.

Для нахождения объёма нам необходимо знать его третье ребро. Как его найти?

Мы можем воспользоваться формулой диагонали параллелепипеда:

Вычислим неизвестное ребро:

Таким образом, объём параллелепипеда равен:

*При разности квадратов используйте формулу , решение упрощается.

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 12 и 6. Объем параллелепипеда равен 864. Найдите его диагональ.

Задача обратная предыдущей. Для того, чтобы найти диагональ, необходимо знать чему равно третье ребро. Мы можем вычислить его воспользовавшись формулой объёма:

Диагональ параллелепипеда равна:

Диагональ куба равна 41. Найдите площадь его поверхности.

Площадь поверхности куба равна:

Формула длины диагонали куба:

Выразим ребро и подставим полученное выражение в формулу площади поверхности:

Тогда площадь поверхности куба:

Площадь поверхности куба равна 216. Найдите его объем.

Площадь поверхности куба со стороной равна S = 6 a 2 .

Найдём ребро куба:

Объем куба равен:

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2 и 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите площадь поверхности параллелепипеда.

Для того, чтобы вычислить площадь поверхности необходимо знать третье ребро:

Используем формулу длины диагонали:

27128. Ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2, 3. Найдите его площадь поверхности. Ответ: 22.

27146. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1 и 2 Объем параллелепипеда равен 6. Найдите площадь его поверхности. Ответ: 22

27098. Диагональ куба равна корню из двенадцати. Найдите его объем.

27101. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 3. Объем параллелепипеда равен 36. Найдите его диагональ.

27139. Диагональ куба равна 1. Найдите площадь его поверхности.

27141. Площадь поверхности куба равна 24. Найдите его объем.

Источник

Читайте также:  Нормы шпатлевки стен за смену